PROCEDURAL GENERATION IN FOUR-DIMENSIONAL SPACE: FROM 4D GRADIENT NOISE TO VISUALIZATION OF QUATERNION FRACTALS
Keywords:
4D geometry, procedural generation, gradient noise, simplex noise, quaternion fractals, visualization, computer graphics
Abstract
The article offers a comprehensive review of procedural content generation (PCG) methods in four-dimensional (4D) space, which is a relevant direction in modern computer graphics. The theoretical and practical aspects of using the fourth dimension as a tool for creating complex animations and seamless textures are considered. The Euclidean 4D space and its mathematical foundations are formally defined. Unlike 3D, where rotation occurs around an axis, in 4D space it occurs around a plane, which allows for the unique phenomenon of double rotations4. The geometry of 4-polytopes, such as the tesseract, whose boundaries consist of 3D polyhedra, is also studied. Gradient noise algorithms are analyzed in detail, in particular, a comparison of classical Perlin noise with more productive and high-quality simplex noise is carried out. It is shown that the hypercubic Perlin noise mesh leads to undesirable visual artifacts and has a high computational complexity of O(n4), while the simplex noise (O(n2)) uses a more isotropic simplicial mesh. Methods for generating 4D fractal structures, such as the Mandelbrot and Julia sets, using quaternion algebra are investigated. A key property of quaternion algebra is the noncommutativity of multiplication, which allows the generation of complex and asymmetric 4D structures that are not possible in lower dimensions. The generation algorithm is based on an iteration formula, where the Mandelbrot quaternion set is defined as the set of constants C for which the iteration Z Z C n� n 1 � � � � 2 � remains bounded. Since direct perception of 4D objects is impossible, the paper systematizes key visualization techniques: 3D slicing (slices), orthographic and perspective projections, and volumetric rendering using ray marching. Perspective projection creates the well-known "cube-in-cube" effect for the tesseract, giving a sense of depth along the fourth axis. Volumetric rendering using ray marching has been shown to be particularly effective for implicitly specified surfaces, as it uses sign distance functions (SDFs) for photorealistic visualization. The conclusions summarize the current state of the art and outline promising research directions related to hardware acceleration on GPUs and the use of generative models based on AI.
References
1. Процедурна генерація – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Procedural_generation
2. Процедурна генерація: Огляд | автор: Kenny – Medium, URL: https://kentpawson123.medium.com/procedural-generation-an-overview-1b054a0f8d41
3. 4D симплексний шум з аналітичними градієнтами, заснований на веб-gl-шумі Stegu – Reddit, URL: https://www.reddit.com/r/proceduralgeneration/comments/alihyr/4d_simplex_noise_with_analytical_gradients_based/
4. Яка мета використання 4D OpenSimplex шуму замість 2D Perlin шуму для створення циклічного шуму? – Stack Overflow, URL: https://stackoverflow.com/questions/65540942/what-is-the-intent-of-using-4d-opensimplex-noise-instead-of-2d-perlin-noise-to-c
5. Гарні картинки з полями шуму Перліна – Райан Маркус, URL: https://rmarcus.info/blog/2018/03/04/perlin-noise.html
6. Шум Перліна – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Perlin_noise
7. Шум Перліна: реалізація, процедурна генерація та симплексний шум – GarageFarm, URL: https://garagefarm.net/blog/perlin-noise-implementation-procedural-generation-and-simplex-noise
8. Двокватерніонні фрактали Жуліа 12pt22pt-5pt – arXiv, URL: https://arxiv.org/pdf/2303.14827
9. Розділ 2: Шумове обладнання – UMBC, URL: https://userpages.cs.umbc.edu/olano/s2002c36/ch02.pdf
10. Шум Перліна та його вдосконалення: огляд літератури | Прикладна та обчислювальна інженерія, URL: https://www.ewadirect.com/proceedings/ace/article/view/14225
11. Чотиривимірний простір – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Four-dimensional_space
12. medium.com, URL: https://medium.com/@nareshshrestha107/understanding-the-fundamentals-of-the-fourth-dimension-a67edda70dbd
13. Розуміння 4D -- Тессеракт – YouTube, URL: https://www.youtube.com/watch?v=iGO12Z5Lw8s
14. Візуалізація – Brown Math, URL: https://www.math.brown.edu/cdaly2/visualization.html
15. 4D вектор – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/4D_vector
16. Чотиривимірна геометрія -- з Wolfram MathWorld, URL: https://mathworld.wolfram.com/Four-DimensionalGeometry.html
17. 4D фігури – Pardesco, URL: https://pardesco.com/blogs/news/4d-shapes
18. Тессеракт – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract
19. Алгоритм шуму Перліна – Процедурний світ Джейсміто, URL: https://jaysmito101.hashnode.dev/perlins-noise-algorithm
20. Симплексний шум розвінчано – Бременський університет CGVR, URL: https://cgvr.cs.uni-bremen.de/teaching/cg_literatur/simplexnoise.pdf
21. (PDF) Симплексний шум розвінчано – ResearchGate, URL: https://www.researchgate.net/publication/216813608_Simplex_noise_demystified
22. Розділ 5. Впровадження покращеного шуму Перліна – розробник NVIDIA, URL: https://developer.nvidia.com/gpugems/gpugems/part-i-natural-effects/chapter-5-implementing-improved-perlin-noise
23. Розуміння шуму Перліна – детальний огляд самого алгоритму, а також деталей реалізації. Також містить повністю прокоментований та деобфускований код. : r/gamedev – Reddit, URL: https://www.reddit. com/r/gamedev/comments/2d284n/understanding_perlin_noise_an_indepth_look_at_the/
24. Задача Перліна: рух повз квадратний шум – NoisePosti.ng, URL: https://noiseposti.ng/posts/2022-01-16- The-Perlin-Problem-Moving-Past-Square-Noise.html
25. Шум Перліна: алгоритм генерації процедур – блог Рауфа, URL: https://rtouti.github.io/graphics/perlin-noise-algorithm
26. Симплексний шум – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Simplex_noise
27. Процедурні ефекти в реальному часі | NVIDIA, URL: https://www.nvidia.it/docs/IO/8343/RealTime-Procedural-Effects.pdf
28. Генерація процедурної карти з використанням шуму Перліна. Як її покращити? – Reddit, URL: https://www.reddit.com/r/proceduralgeneration/comments/16jcsu3/procedural_map_generation_using_perlin_noise_how/
29. N-вимірний генератор шуму Перліна: r/cpp – Reddit, URL: https://www.reddit.com/r/cpp/comments/greq8t/ndimensional_perlin_noise_generator/
30. Кватерніонні фрактали Жуліа – Пол Бурк, URL: https://paulbourke.net/fractals/quatjulia/
31. Розрізання 4-вимірних фракталів, URL: https://new.math.uiuc.edu/math198/MA198-2011/paul23/
32. Фрактальні дерева: Рекурсія, кватерніони та Python. – Блог Хуана Ернесто, URL: https://www.jernesto.com/articles/fractal_trees
33. Теорія кватерніонів – ChaosPro, URL: http://www.chaospro.de/documentation/html/fractaltypes/quaternions/theory.htm
34. Множина Мандельброта – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set
35. Розширення множини Мандельброта у вищі виміри – Архів Бріджес, URL: https://archive.bridgesmathart.org/2010/bridges2010-247.pdf
36. Фрактальні програми Кватерніон та Гіперкомплекс, URL: http://www.juliasets.dk/Quaternion.htm
37. 3D-рендеринг кватерніонної множини Мандельброта з пам'яттю – Пол Бурк, URL: https://paulbourke. org/papers/fractals2024/prepress.pdf
38. 4D-кватерніон Мандельброта Набір – Пол Найландер – WordPress.com, URL: https://nylander.wordpress.com/2009/07/07/4d-quaternion-mandelbrot-set/
39. Фрактал кватерніонів Жулія – Веньхао Юй, URL: https://wenhaoyu.weebly.com/quaternion-julia-set-fractal.html
40. Інтерактивний 4D-довідник – 3D-зрізи – Бейлі Снайдер, URL: https://baileysnyder.com/interactive-4d/3d-slices/
41. Візуалізація поверхонь у чотиривимірному просторі – Purdue e-Pubs, URL: https://docs.lib.purdue.edu/cgi/viewcontent.cgi?referer=&httpsredir=1&article=1813&context=cstech
42. Інтерактивний 4D-довідник – 4D-сфери – Бейлі Снайдер, URL: https://baileysnyder.com/interactive-4d/4d-spheres/
43. За межами 3D: Крижані кубики: Розрізання 4D-гіперкуба, URL: http://alem3d.obidos.org/en/cubeice/movsl4
44. Візуалізація 4-го виміру. – Mathematics Stack Exchange, URL: https://math.stackexchange.com/questions/2286180/visualizing-the-4th-dimension
45. Стереопроекція 4-го виміру: стереографічна проекція, URL: https://www.math.union.edu/~dpvc/math/4D/stereo-projection/welcome.html
46. Стереографічна проекція – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection
47. Малювання за допомогою математики: ніжне дослідження променевого маршування – Блог Максима Хеккеля, URL: https://blog.maximeheckel.com/posts/painting-with-math-a-gentle-study-of-raymarching/
48. Оцінка відстані 3D-фракталів (частина I) – Syntopia, URL: http://blog.hvidtfeldts.net/index. php/2011/06/distance-estimated-3d-fractals-part-i/
49. Функція відстані зі знаком – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_distance_function
50. Розкриття таємниць про функції відстані зі знаком | Scicho – Сейєд Саджад Абеді-Шахрі, URL: https://sadjadabedi.ir/post/demystifying-signed-distance-functions/
51. Неправильний спосіб використання функції відстані зі знаком (sdf) – URL: Winterbloed, https://winterbloed.be/the-wrong-way-to-use-a-signed-distance-function/
52. Функції відстані зі знаком: Моделювання в математиці – Hackaday, URL: https://hackaday.com/2023/04/12/signed-distance-functions-modeling-in-math/
53. Jellevermandere/4D-Raymarching: фреймворк Unity для … – GitHub, URL: https://github.com/Jellevermandere/4D-Raymarching
54. Трасування променів 4D фракталів, візуалізація чотиривимірних властивостей множини Жуліа, URL: http://www.codinginstinct.com/2008/11/raytracing-4d-fractals-visualizing-four.html
55. Трасування променів детермінованих 3-D фракталів – Кафедра комп'ютерних наук, URL: https://www.cs.drexel.edu/~david/Classes/Papers/rtqjs.pdf
56. Шум Ворлі – Вікіпедія, https://en.wikipedia.org/wiki/Worley_noise
57. Вузол VOP шуму Ворлі – SideFX, URL: https://www.sidefx.com/docs/houdini/nodes/vop/worleynoise.html
58. Клітинні автомати в архітектурі, дизайні та мистецтві | автор Степан Кухарський | Medium, URL: https://medium.com/@stepan.kukharskiy/cellular-automata-in-architecture-design-and-art-217fce9c1a5c
59. Процедурна генерація підземель: клітинні автомати – блог jrheard, URL: https://blog.jrheard.com/procedural-dungeon-generation-cellular-automata
60. (PDF) Процедурна генерація підземель – ResearchGate, URL: https://www.researchgate.net/publication/260800341_Procedural_Generation_of_Dungeons
61. Клітинний автомат – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Cellular_automaton
62. Процедурна генерація за допомогою клітинних автоматів – Бронсон Згеб, URL: https://bronsonzgeb.com/index.php/2022/01/30/procedural-generation-with-cellular-automata/
63. Процедурні текстури – Лабораторія медіа-досліджень Нью-Йоркського університету, URL: https://mrl.cs.nyu.edu/projects/texture/
64. Процедурне текстурування в 3D: Гнучкий та потужний робочий процес для художників – GarageFarm, URL: https://garagefarm.net/blog/procedural-texturing-in-3d-power-precision-and-possibility
65. Технологічна функція: Шум та фрактали – В іграх божевілля, URL: https://frictionalgames.blogspot. com/2010/11/tech-feature-noise-and-fractals.html
66. Досягнення в 4D-генерації: Огляд – arXiv, URL: https://arxiv.org/html/2503.14501v2
67. Досягнення в 4D-генерації: методи, виклики та майбутні напрямки – arXiv, URL: https://arxiv.org/html/2503.14501v3
68. Найкращий спосіб процедурної генерації великі, скінченні та детальні світи? : r/proceduralgeneration – Reddit, URL: https://www.reddit.com/r/proceduralgeneration/comments/7o5nlr/best_way_to_procedurally_generate_large_finite/
69. Подолання труднощів розробника за допомогою процедурної генерації в Unreal Engine, URL: https://moldstud.com/articles/p-overcoming-developer-challenges-with-procedural-generation-in-unreal-engine
70. Процедурна генерація в реальному часі за допомогою графіків роботи GPU – AMD GPUOpen, URL: https://gpuopen.com/download/Real-Time_Procedural_Generation_with_GPU_Work_Graphs-GPUOpen_preprint.pdf
71. Навігація четвертим виміром: відносність та сприйняття через 3D-лінзу, URL: https://www.researchgate.net/publication/389896982_Navigating_the_Fourth_Dimension_Relativity_and_Perception_Through_a_3D_Lens
72. Матеріали конференції Спеціальної групи інтересів з комп'ютерної графіки та інтерактивних методів, документи конференції – acm siggraph, URL: https://www.siggraph.org/wp-content/uploads/2025/08/ Conference-Papers.html
73. ACM Transactions on Graphics (TOG): Том 42, № 4. 2023, URL: https://www.siggraph.org/wp-content/uploads/2024/02/ACM-Transactions-on-Graphics-Volume-42-Issue-4.html
2. Процедурна генерація: Огляд | автор: Kenny – Medium, URL: https://kentpawson123.medium.com/procedural-generation-an-overview-1b054a0f8d41
3. 4D симплексний шум з аналітичними градієнтами, заснований на веб-gl-шумі Stegu – Reddit, URL: https://www.reddit.com/r/proceduralgeneration/comments/alihyr/4d_simplex_noise_with_analytical_gradients_based/
4. Яка мета використання 4D OpenSimplex шуму замість 2D Perlin шуму для створення циклічного шуму? – Stack Overflow, URL: https://stackoverflow.com/questions/65540942/what-is-the-intent-of-using-4d-opensimplex-noise-instead-of-2d-perlin-noise-to-c
5. Гарні картинки з полями шуму Перліна – Райан Маркус, URL: https://rmarcus.info/blog/2018/03/04/perlin-noise.html
6. Шум Перліна – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Perlin_noise
7. Шум Перліна: реалізація, процедурна генерація та симплексний шум – GarageFarm, URL: https://garagefarm.net/blog/perlin-noise-implementation-procedural-generation-and-simplex-noise
8. Двокватерніонні фрактали Жуліа 12pt22pt-5pt – arXiv, URL: https://arxiv.org/pdf/2303.14827
9. Розділ 2: Шумове обладнання – UMBC, URL: https://userpages.cs.umbc.edu/olano/s2002c36/ch02.pdf
10. Шум Перліна та його вдосконалення: огляд літератури | Прикладна та обчислювальна інженерія, URL: https://www.ewadirect.com/proceedings/ace/article/view/14225
11. Чотиривимірний простір – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Four-dimensional_space
12. medium.com, URL: https://medium.com/@nareshshrestha107/understanding-the-fundamentals-of-the-fourth-dimension-a67edda70dbd
13. Розуміння 4D -- Тессеракт – YouTube, URL: https://www.youtube.com/watch?v=iGO12Z5Lw8s
14. Візуалізація – Brown Math, URL: https://www.math.brown.edu/cdaly2/visualization.html
15. 4D вектор – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/4D_vector
16. Чотиривимірна геометрія -- з Wolfram MathWorld, URL: https://mathworld.wolfram.com/Four-DimensionalGeometry.html
17. 4D фігури – Pardesco, URL: https://pardesco.com/blogs/news/4d-shapes
18. Тессеракт – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract
19. Алгоритм шуму Перліна – Процедурний світ Джейсміто, URL: https://jaysmito101.hashnode.dev/perlins-noise-algorithm
20. Симплексний шум розвінчано – Бременський університет CGVR, URL: https://cgvr.cs.uni-bremen.de/teaching/cg_literatur/simplexnoise.pdf
21. (PDF) Симплексний шум розвінчано – ResearchGate, URL: https://www.researchgate.net/publication/216813608_Simplex_noise_demystified
22. Розділ 5. Впровадження покращеного шуму Перліна – розробник NVIDIA, URL: https://developer.nvidia.com/gpugems/gpugems/part-i-natural-effects/chapter-5-implementing-improved-perlin-noise
23. Розуміння шуму Перліна – детальний огляд самого алгоритму, а також деталей реалізації. Також містить повністю прокоментований та деобфускований код. : r/gamedev – Reddit, URL: https://www.reddit. com/r/gamedev/comments/2d284n/understanding_perlin_noise_an_indepth_look_at_the/
24. Задача Перліна: рух повз квадратний шум – NoisePosti.ng, URL: https://noiseposti.ng/posts/2022-01-16- The-Perlin-Problem-Moving-Past-Square-Noise.html
25. Шум Перліна: алгоритм генерації процедур – блог Рауфа, URL: https://rtouti.github.io/graphics/perlin-noise-algorithm
26. Симплексний шум – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Simplex_noise
27. Процедурні ефекти в реальному часі | NVIDIA, URL: https://www.nvidia.it/docs/IO/8343/RealTime-Procedural-Effects.pdf
28. Генерація процедурної карти з використанням шуму Перліна. Як її покращити? – Reddit, URL: https://www.reddit.com/r/proceduralgeneration/comments/16jcsu3/procedural_map_generation_using_perlin_noise_how/
29. N-вимірний генератор шуму Перліна: r/cpp – Reddit, URL: https://www.reddit.com/r/cpp/comments/greq8t/ndimensional_perlin_noise_generator/
30. Кватерніонні фрактали Жуліа – Пол Бурк, URL: https://paulbourke.net/fractals/quatjulia/
31. Розрізання 4-вимірних фракталів, URL: https://new.math.uiuc.edu/math198/MA198-2011/paul23/
32. Фрактальні дерева: Рекурсія, кватерніони та Python. – Блог Хуана Ернесто, URL: https://www.jernesto.com/articles/fractal_trees
33. Теорія кватерніонів – ChaosPro, URL: http://www.chaospro.de/documentation/html/fractaltypes/quaternions/theory.htm
34. Множина Мандельброта – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set
35. Розширення множини Мандельброта у вищі виміри – Архів Бріджес, URL: https://archive.bridgesmathart.org/2010/bridges2010-247.pdf
36. Фрактальні програми Кватерніон та Гіперкомплекс, URL: http://www.juliasets.dk/Quaternion.htm
37. 3D-рендеринг кватерніонної множини Мандельброта з пам'яттю – Пол Бурк, URL: https://paulbourke. org/papers/fractals2024/prepress.pdf
38. 4D-кватерніон Мандельброта Набір – Пол Найландер – WordPress.com, URL: https://nylander.wordpress.com/2009/07/07/4d-quaternion-mandelbrot-set/
39. Фрактал кватерніонів Жулія – Веньхао Юй, URL: https://wenhaoyu.weebly.com/quaternion-julia-set-fractal.html
40. Інтерактивний 4D-довідник – 3D-зрізи – Бейлі Снайдер, URL: https://baileysnyder.com/interactive-4d/3d-slices/
41. Візуалізація поверхонь у чотиривимірному просторі – Purdue e-Pubs, URL: https://docs.lib.purdue.edu/cgi/viewcontent.cgi?referer=&httpsredir=1&article=1813&context=cstech
42. Інтерактивний 4D-довідник – 4D-сфери – Бейлі Снайдер, URL: https://baileysnyder.com/interactive-4d/4d-spheres/
43. За межами 3D: Крижані кубики: Розрізання 4D-гіперкуба, URL: http://alem3d.obidos.org/en/cubeice/movsl4
44. Візуалізація 4-го виміру. – Mathematics Stack Exchange, URL: https://math.stackexchange.com/questions/2286180/visualizing-the-4th-dimension
45. Стереопроекція 4-го виміру: стереографічна проекція, URL: https://www.math.union.edu/~dpvc/math/4D/stereo-projection/welcome.html
46. Стереографічна проекція – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection
47. Малювання за допомогою математики: ніжне дослідження променевого маршування – Блог Максима Хеккеля, URL: https://blog.maximeheckel.com/posts/painting-with-math-a-gentle-study-of-raymarching/
48. Оцінка відстані 3D-фракталів (частина I) – Syntopia, URL: http://blog.hvidtfeldts.net/index. php/2011/06/distance-estimated-3d-fractals-part-i/
49. Функція відстані зі знаком – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_distance_function
50. Розкриття таємниць про функції відстані зі знаком | Scicho – Сейєд Саджад Абеді-Шахрі, URL: https://sadjadabedi.ir/post/demystifying-signed-distance-functions/
51. Неправильний спосіб використання функції відстані зі знаком (sdf) – URL: Winterbloed, https://winterbloed.be/the-wrong-way-to-use-a-signed-distance-function/
52. Функції відстані зі знаком: Моделювання в математиці – Hackaday, URL: https://hackaday.com/2023/04/12/signed-distance-functions-modeling-in-math/
53. Jellevermandere/4D-Raymarching: фреймворк Unity для … – GitHub, URL: https://github.com/Jellevermandere/4D-Raymarching
54. Трасування променів 4D фракталів, візуалізація чотиривимірних властивостей множини Жуліа, URL: http://www.codinginstinct.com/2008/11/raytracing-4d-fractals-visualizing-four.html
55. Трасування променів детермінованих 3-D фракталів – Кафедра комп'ютерних наук, URL: https://www.cs.drexel.edu/~david/Classes/Papers/rtqjs.pdf
56. Шум Ворлі – Вікіпедія, https://en.wikipedia.org/wiki/Worley_noise
57. Вузол VOP шуму Ворлі – SideFX, URL: https://www.sidefx.com/docs/houdini/nodes/vop/worleynoise.html
58. Клітинні автомати в архітектурі, дизайні та мистецтві | автор Степан Кухарський | Medium, URL: https://medium.com/@stepan.kukharskiy/cellular-automata-in-architecture-design-and-art-217fce9c1a5c
59. Процедурна генерація підземель: клітинні автомати – блог jrheard, URL: https://blog.jrheard.com/procedural-dungeon-generation-cellular-automata
60. (PDF) Процедурна генерація підземель – ResearchGate, URL: https://www.researchgate.net/publication/260800341_Procedural_Generation_of_Dungeons
61. Клітинний автомат – Вікіпедія, URL: https://en.wikipedia.org/wiki/Cellular_automaton
62. Процедурна генерація за допомогою клітинних автоматів – Бронсон Згеб, URL: https://bronsonzgeb.com/index.php/2022/01/30/procedural-generation-with-cellular-automata/
63. Процедурні текстури – Лабораторія медіа-досліджень Нью-Йоркського університету, URL: https://mrl.cs.nyu.edu/projects/texture/
64. Процедурне текстурування в 3D: Гнучкий та потужний робочий процес для художників – GarageFarm, URL: https://garagefarm.net/blog/procedural-texturing-in-3d-power-precision-and-possibility
65. Технологічна функція: Шум та фрактали – В іграх божевілля, URL: https://frictionalgames.blogspot. com/2010/11/tech-feature-noise-and-fractals.html
66. Досягнення в 4D-генерації: Огляд – arXiv, URL: https://arxiv.org/html/2503.14501v2
67. Досягнення в 4D-генерації: методи, виклики та майбутні напрямки – arXiv, URL: https://arxiv.org/html/2503.14501v3
68. Найкращий спосіб процедурної генерації великі, скінченні та детальні світи? : r/proceduralgeneration – Reddit, URL: https://www.reddit.com/r/proceduralgeneration/comments/7o5nlr/best_way_to_procedurally_generate_large_finite/
69. Подолання труднощів розробника за допомогою процедурної генерації в Unreal Engine, URL: https://moldstud.com/articles/p-overcoming-developer-challenges-with-procedural-generation-in-unreal-engine
70. Процедурна генерація в реальному часі за допомогою графіків роботи GPU – AMD GPUOpen, URL: https://gpuopen.com/download/Real-Time_Procedural_Generation_with_GPU_Work_Graphs-GPUOpen_preprint.pdf
71. Навігація четвертим виміром: відносність та сприйняття через 3D-лінзу, URL: https://www.researchgate.net/publication/389896982_Navigating_the_Fourth_Dimension_Relativity_and_Perception_Through_a_3D_Lens
72. Матеріали конференції Спеціальної групи інтересів з комп'ютерної графіки та інтерактивних методів, документи конференції – acm siggraph, URL: https://www.siggraph.org/wp-content/uploads/2025/08/ Conference-Papers.html
73. ACM Transactions on Graphics (TOG): Том 42, № 4. 2023, URL: https://www.siggraph.org/wp-content/uploads/2024/02/ACM-Transactions-on-Graphics-Volume-42-Issue-4.html
Published
2025-12-30
How to Cite
Novokhatko, I. O., & Fedotova, N. A. (2025). PROCEDURAL GENERATION IN FOUR-DIMENSIONAL SPACE: FROM 4D GRADIENT NOISE TO VISUALIZATION OF QUATERNION FRACTALS. Systems and Technologies, 70(2), 154-161. https://doi.org/10.32782/2521-6643-2025-2-70.16
Section
COMPUTER SCIENCES
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.
ISSN 
