ДВОСТОРОННІ ОЦІНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПОКАЗНИКА ЛЯПУНОВА

С. Ю. Пославський; Д. О. Редчиць; О. В. Акіменко; С. В. Моісеєнко

С. Ю. Пославський Інститут транспортних систем та технологій Національної академії наук України https://orcid.org/0009-0007-8972-5823
Д. О. Редчиць Інститут транспортних систем та технологій Національної академії наук України https://orcid.org/0000-0001-8538-6026
О. В. Акіменко Інститут транспортних систем та технологій Національної академії наук України https://orcid.org/0000-0002-4562-4795
С. В. Моісеєнко Херсонський національний технічний університет https://orcid.org/0000-0001-5802-3887

Ключові слова: нелінійні диференціальні рівняння, змінне запізнення, показник Ляпунова, експоненційна стійкість, оцінки стійкості систем

Анотація

У більшості робіт розглядаються системи з постійним запізненням, проте, найчастіше, інформація про функцію запізнення відсутня, відома лише її верхня межа, крім того, система може містити розподілене запізнення. Стійкість систем зі змінним і розподіленим запізненням вивчена значно меншою мірою. Відомі методи, в більшості випадків, дозволяють отримувати лише достатні умови стійкості або верхні оцінки максимального показника Ляпунова. Недоліком таких результатів є те, що ступінь їхньої консервативності залишається невідомим. У зв’язку з цим є актуальним завдання локалізації максимального показника Ляунова, тобто, крім верхньої оцінки, необхідно знайти його нижню оцінку. У статті детально розглянуто клас систем нелінійних диференціальних рівнянь із заданою лінійною частиною та обмеженим за нормою нелінійним доданком, що містить змінне запізнення. Особливу увагу приділено впливу запізнення на динаміку системи та оцінюванню її стійкісних характеристик. Отримано двосторонні оцінки максимального показника Ляпунова, які виражено через норму нелінійного члена, а також через максимальні значення функцій запізнення. Це дозволяє встановити кількісні межі поведінки розв’язків і оцінити швидкість їх збіжності або розбіжності. Для окремих класів систем вдалося визначити точні значення максимального показника Ляпунова, що є важливим результатом для теорії стійкості. На основі отриманих оцінок сформульовано достатні, а в певних випадках і необхідні умови експоненційної стійкості досліджуваних систем. Характерною особливістю цих умов є їх інваріантність відносно запізнення, що значно розширює сферу їх застосування. Запропоновано також простий і ефективний метод перевірки експоненційної стійкості, який не потребує складних обчислень і має обчислювальну трудомісткість, що практично не залежить від розмірності (порядку) системи. Це робить підхід зручним для практичного використання, зокрема для систем високої розмірності. На завершення наведено низку прикладів, які ілюструють застосування розробленої методики, демонструють її ефективність та підтверджують теоретичні результати.

Посилання

1. Зевін О. А., Пославський С. Ю. Двосторонні оцінки найбільшого показника Ляпунова та критерії експоненційної стійкості нелінійних систем із довільним запізненням. Автоматика і телемеханіка. 2012. 1. С. 82–91.
2. Пославський С. Ю. Метод розрахунку стійкості нелінейних систем із запізненнями. Вісник Харківського національного університету. 2014. 1133(70). С. 48–55. URL: http://nbuv.gov.ua/UJRN/VKhIMA_2014_1133_70_5
3. Niculescu S. I. Delay effects on stability (Lecture notes in control and information sciences). Springer. 2001. 388 p. DOI: 10.1007/1-84628-553-4
4. Хусаінов Д., Диблик Й., Ружичкова М. Лінійні динамічні системи з післядією. Представлення розв’язків, стійкість, управління, стабілізація. Киев. Нац. унів-т ім. Т. Шевченко. ГП Інформ.-аналіт. агенство. 2015. 252 с.
5. Richard J.-P. Time-delay systems: an overview of some recent advances and open problems. Automatica. 2003. 39 (10). P. 1667–1694. DOI: 10.1016/S0005-1098(03)00167-5
6. Olbrot A.W. A sufficiently large time delay in feedback loop must destroy exponential stability of any decay rate. IEEE Transactions on Automatic Control. 1984. 29. – P. 367–368.
7. Abdallah G., Dorato P., Benitez-Read J., Byrne R. Delayed positive feedback can stabilize oscillatory systems. Proceeding of American control conference. 1993. P. 3106–3107. URL: https://digitalrepository.unm.edu/ece_fsp/80/
8. Goubet A., Dambrine М., Richard J.P. An extension of stability criteria for linear and nonlinear time delay systems. Proceeding of IFAC conference on system structure and control. 1995. P. 278–283.
9. Richard J. P. Some trends and tools for the study of time-delay systems. Proceeding of 2nd conference IMACS-IEEE on computational engineering in systems applications. Tunisia. Plenary lecture. 1998. P. 27–43.
10. Kharitonov V. L. Robust stability analysis of time delay systems: a survey. Annual Reviews in Control. 1999. 23. P. 185–196. DOI: 10.1016/s1367-5788(99)00021-8
11. Hale J.K., Verduyn-Lunel S.M. Introduction to functional differential equations. Applied Mathematical Sciences. Springer. 1993. 99. 450 p.
12. Разуміхин Б. С. Про стійкість систем із запізненням. Прикладна математика і механіка. 1956. 4. С. 500–512.
13. Разуміхин Б. С. Застосування методу Ляпунова до задач стійкості систем із запізненням. Автоматика і телемеханіка. 1960, 21 (6). С. 740–748.
14. Cheres E., Palmor Z. J, Gutman S. Quantitative measures of robustness for systems including delayed perturbations. IEEE Trans. Autom. Control. 1989. 34 (11). P. 1203–1205.
15. Wu H., Mizukami К. Robust stability criteria for dynamical systems including delayed perturbations. IEEE Trans. Autom. Control. 1995. 40 (3). P. 487–490. DOI: 10.1109/9.382907
16. Hou C., Gao F., Qian J. Stability criterion for linear systems with nonlinear delayed perturbations. Math. Anal. Appl. 1999. 2. P. 573–582. DOI: 10.1006/JMAA.1999.6490