АНАЛІТИЧНІ МЕЖІ ТОПОЛОГІЧНОЇ СТІЙКОСТІ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ ЗА УМОВ ШУМУ ТА СТРУКТУРНИХ АНОМАЛІЙ

Анотація

У статті розроблено узагальнену аналітичну модель визначення меж топологічної стійкості динамічних систем за умов шуму та структурних аномалій. Топологічна стійкість розглядається як інваріантність якісного типу динаміки – збереження індексу Конлі, морсівської декомпозиції та гомологічного класу атрактора – при стохастичних і дискретних структурних збуреннях, що змінюють геометрію та зв’язність компонентів системи. На відміну від класичних підходів, що базуються на локальній метричній стабільності, запропоновано методологію, яка поєднує операторний формалізм еволюційних потоків, спектральний аналіз генератора напівгрупи та топологічно-статистичні інваріанти. Основою методу є трактування шумових і структурних впливів як параметричних збурень системи, що дозволяє простежити неперервність спектра та визначити умови збереження топологічних інваріантів. Введено інтегральний функціонал топологічної жорсткості як кількісну міру середньої зміни структури атрактора; показано, що його поведінка задає порогові умови втрати стійкості та визначає межі інваріантності системи. Аналітично виведено граничні співвідношення, які описують область аналітичної стійкості – множину параметрів шуму, кореляційного часу, глибини й рангу структурних дефектів, у межах якої ймовірність зміни топологічного інваріанта не перевищує заданого рівня. Проведене комп’ютерне тестування підтвердило адекватність моделі: аналітичні межі збігаються з емпіричними результатами, отриманими методом топологічного аналізу даних із використанням діаграм персистентності. Виявлено, що у діапазоні малих збурень форма емпіричної межі практично тотожна аналітичній, а відхилення у перехідній зоні не перевищують очікуваної стохастичної похибки. Результати дослідження підтверджують ефективність запропонованого підходу для кількісного прогнозування моментів втрати топологічної інваріантності та оцінювання запасу стійкості в реакційно-дифузійних, мережевих, нейродинамічних і керованих технічних системах. Методика є універсальною, відтворюваною й може бути інтегрована у модулі адаптивного керування складними об’єктами, що працюють в умовах невизначеності та шумових впливів.