ПОБУДОВА БАЗИСУ БІПІРАМІДИ З ТРЬОМА РУХОМИМИ ВУЗЛАМИ

Анотація

У статті розглянуто можливості апроксимації методом скінченних елементів функції трьох змінних в області, яка має форму чотирикутної біпіраміди. Основною задачею даного дослідження є покращення апроксимаційних властивостей решіток тетраедрально-октаедральної структури шляхом поповнення їх комірками, які не є правильними багатогранниками. Зокрема, автором вивчаються скінченні елементи, які утворені в результаті лінійних деформацій октаедра. У даній роботі об’єктом досліджень є скінченний елемент у формі біпіраміди з трьома рухомими вузлами, які можна переміщати вздовж півосей багатогранника. Дана властивість дозволяє пристосувати скінченний елемент, який не є правильним багатогранником, до границі розрахункової області краще за правильний багатогранник. У роботі побудовано два скінченно-елементні базиси біпіраміди з сімома та шістьма вузлами інтерполяції. Для побудови базисних функцій біпіраміди застосовано два методи: геометричний та метод конденсації. Отримані базиси є поліноміальними функціями, які параметрично залежать від значень трьох коефіцієнтів видовження/стиснення півосей біпіраміди. Базис з шістьма вузлами інтерполяції містить додатковий параметр у вигляді вагового коефіцієнта, який є наслідком застосування процедури конденсації до функцій семивузлового базису біпіраміди. Наявність параметрів дозволяє покращувати інтерполяційні властивості побудованих базисів біпіраміди відповідно до критеріїв якості апроксимації, які використовують в методі скінченних елементів. В даній роботі таким критерієм вважається величина сліду матриці жорсткості. Згідно з обраним критерієм знайдено значення коефіцієнтів лінійної деформації трьох півосей октаедра, при яких слід матриці жорсткості біпіраміди є мінімальним. У статті отримано інтервальні оцінки для коефіцієнтів видовження/стиснення трьох півосей октаедра, які характеризують відхилення геометричних розмірів біпіраміди від правильного багатогранника та приводять до втрати всіх видів симетрії. Для визначення меж допустимих значень коефіцієнтів лінійних деформацій октаедра розраховано показник асиметрії Skewness, який використовують в системі скінченно-елементного аналізу ANSYS. Отримані інтервальні оцінки для коефіцієнтів видовження/стиснення півосей октаедра відповідають критерію мінімальності сліду матриці жорсткості біпіраміди з трьома рухомим вузлами, що вказує на позитивний прогноз використання даного скінченного елемента як комірки решітки тетраедрально-октаедральної структури. Перспективою подальших досліджень є побудова кубатурних формул на скінченному елементі в формі біпіраміди з трьома рухомими вузлами з метою використання його при алгоритмізації методу скінченних елементів.